Por que son Importantes los Conjuntos

Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticas se construyen. Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos, álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal, teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los conjuntos.

Solemos pensar que las matemáticas han sido desarrolladas a partir de la necesidad de contar de nuestros ancestros. Esa necesidad de contar cuántos años tenemos, cuántas ovejas; una luna, dos ojos, seis esposas… muchos etcéteras. Pero si miramos de cerca, al contar la cantidad de cosas de un cierto tipo que tenemos, lo primero que requerimos es poder reunirlas en una sola colección: la colección de las ovejas o la colección de planetas, y así sucesivamente.

   Los conjuntos vinieron a resolver un problema similar. Son colecciones de objetos matemáticos que son a la vez objetos matemáticos.

   Desde luego, esto no quiere decir que deberíamos aprende la teoría de conjuntos con ese único objetivo. Las aplicaciones inmediatas de la teoría de conjuntos no son dedicadas a las colecciones finitas, o, más bien, colecciones suficientemente pequeñas como las que vimos al inicio. No necesitamos pensar en parejas o grupos de 17 elementos como objetos particulares. Independientemente de lo que queremos hacer con ellas, podemos realizar eso mismo a mano, o casi a mano.

   Los conjuntos entran en juego cuando se quiere hablar de conjuntos infinitos. Estos conjuntos infinitos recogen un número infinito de objetos de un colección; por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el conjunto de conjuntos finitos de conjuntos de números naturales, el conjunto de los números irracionales, etcétera. Una vez establecido qué objetos matemáticos se puede englobar en otros objetos matemáticos, podemos comenzar a analizar su estructura.

   Pero justamente aquí viene el problema. Los conjuntos infinitos desafían nuestra intuición, la que proviene de los conjuntos finitos. Las paradojas de la infinitud, como la paradoja de Galileo, la del hotel de Hilbert, entre otros, son las paradojas que vienen a representar la naturaleza del infinito como una contradicción a nuestra intuición física.

   El estudio de la teoría de conjunto, incluso intuitivamente, es la columna vertebral técnica de cómo se manejan los conjunto infinitos. La matemática moderna tiene que ver mucho con conjuntos infinitos, unos infinitos más grandes que otros, más grandes o más pequeños, y es una buena idea aprender acerca de los conjuntos infinitos si se quiere entender mejor a los objetos matemáticos.

   Uno puede estudiar intuitivamente una gran parte de la teoría de conjuntos, sobre todo si realmente se enseña la teoría axiomática de conjuntos con una presentación intuitiva. Este tipo de aprendizaje puede, y tal vez debería, incluir discusiones sobre el axioma de la elección, sobre los ordinales y algo de cardinales. Por ejemplo, los ordinales y cardinales son dos maneras de contar que se extienden más allá de nuestro entendimiento intuitivo de que el conteo se realizar mediante el uso de los números naturales, y que además nos permiten contar objetos infinitos, lo que no es posible con los números naturales.

   Si combinados estas ideas con los fundamentos de la lógica de primer orden, el cálculo de predicados y la lógica elemental de primer orden, se puede ver que la teoría de conjuntos puede ser utilizada como base para las matemáticas modernas; lo que a su vez, nos permite ver mejor algunas partes de las matemáticas.

   La teoría axiomática de conjuntos, por otra parte, es una rama matemática como cualquier otra. Posee ciertos tipos de problemas típicos, los que una vez establecidos son trabajados por los teóricos en sus formas típicas y atípicas para lograr resolverlos o, al menos, entenderlos mejor. Sin embargo, la teoría axiomática de conjuntos puede manejar mejor los problemas más delicados que vienen desde el infinito.

¿Qué quiero decir con esto? Muchos de los conjuntos infinitos en las matemáticas modernas son numerables o tienen un “tamaño” continuo. Rara vez nos encontramos con conjuntos más grandes; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos Lebesgue medibles es muy grande, pero aún así no es usual preocuparse por esos conjuntos. Pero, ahora que entendemos mejor los conjuntos infinitos, nos podemos preguntar cosas como: Dado un grupo abeliano con determinadas propiedades, ¿es necesariamente libre (en términos abelianos)? Por lo general, podemos probar este tipo de teoremas para objetos numerables, en este caso, los grupos numerables, pero no más allá de eso.

   Cuando estamos interesados en la topología, que nos permite ampliar nuestra capacidad de manipulación de los objetos numerables a los entes que se pueden aproximas “en el buen sentido” con objetos numerables (como espacios separables). Pero incluso entonces, podemos formularnos preguntas que implican objetos arbitrarios y que, no necesariamente, tengan estas buenas propiedades.

   Resulta que nuestra falta de intuición para los conjuntos infinitos se refleja en la falta de una “estructura intuitivamente demostrable” de los conjuntos infinitos. No podemos siquiera hacer una demostración para determinar cuántas cardinalidades distintas se encuentran entre la cardinalidad de  y la de . Podría no haber ninguno o podría ser uno o dos o muchos más. Aquí es cuando la teoría axiomática de conjuntos entra en el ruedo.

   La teoría axiomática de conjuntos se ocupa de los axiomas adicionales que podríamos requerir en universo teórico para ajustarlo a lo que deseamos tener en él, y cómo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y ésta es también una importancia más de la teoría de conjuntos en la investigación matemática. Se trata de la resolución de la existencia de supuestos o qué tipos de ellos necesitamos para demostrar o refutar la existencia de ciertos objetos.

   Estos objetos, que resultan aparentemente arbitrarias, puede tener una gran influencia y fuertes efectos sobre la estructura de los “conjuntos matemáticamente interesantes”. Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel es medible Lebesgue. Pero la imagen continua de un conjunto de Borel no es necesariamente de Borel. ¿Será medible Lebesgue? Resulta que sí, pero si cerramos los conjuntos de Borel bajo sus complements y funciones continua, ¿los conjuntos resultantes serán medibles Lebesgue? ¿Podrán satisfacer alguna de las versiones de la hipótesis del continuo? ¿Tendrán la propiedad de Baire? Y hay muchas más preguntas, todos ellos muy naturales, que se origina en todo tipo de objetos teóricos extraños y axiomas que afirman su existencia.

   Y si uno se pregunta: ¿a cuenta de qué debemos aprender la teoría de conjuntos y cuál es su importancia? Es por esto, que nos permite entender mejor los objetos infinitos y los supuestos necesarios para controlar mejor su comportamiento.

Epílogo. Veamos una breves descripciones.

La teoría de conjuntos intuitiva. La teoría de conjuntos es el lenguaje común para hablar de las matemáticas, por lo que el aprendizaje de la teoría de conjuntos significa aprender este idioma común. Otro aspecto, como mencioné, es el de conteo. La cardinalidad de los conjuntos es una noción muy fundamental que puede ser entendido bastante bien intuitivamente. La cardinalidad significa contar, así que aprender la teoría de conjuntos significa aprender a contar —más allá de los números finitos. Una aplicación clásica es la prueba de la existencia de los números trascendentes. Por último, la teoría de conjuntos se ata de forma segura con la lógica, por lo que el aprendizaje de la teoría de conjuntos significa aprender la lógica, de que la que podemos hacer uso todo el tiempo.

Teoría axiomática de conjuntos. La teoría de conjuntos es tan fundamental que la única manera de estudiarla rigurosamente es axiomáticamente. Por otra parte, desde el inicio del estudio intuitivo de los conjuntos uno se encuentra con preguntas muy simples que no pueden ser respondidas. Por ejemplo, ¿cada subconjunto de los números reales tiene la cardinalidad de los números reales o la de los números naturales. Otro punto es el axioma de la elección, que por un lado es equivalente a muchas declaraciones obviamente verdaderas tanto como los es a declaraciones evidentemente falsas. Esta situación requiere un estudio axiomático muy cuidadoso y, por supuesto, hay varias maneras de axiomatizar la teoría de conjunto, lo que da lugar a diferentes teorías de conjuntos —haciendo el tema aun más divertido.

Coda. En términos generales la teoría se ocupa del universo matemático. Concretamente, la teoría de conjuntos tiene la capacidad para describir los resultados de independencia, que es un aspecto importante de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, consideremos . ¿Existe un conjunto X tal que ? La teoría de conjuntos nos muestra que la solución a esta pregunta está más allá de nuestra intuición (ZFC). Es posible construir modelos del universo de las teoría de conjuntos donde esta afirmación es cierta, así como construcciones de universos donde es falsa. Por lo tanto, nunca podremos saber la solución a esta pregunta. Lo que hecha luz sobre nuestra capacidad de percibir el infinito.

   También existen ciertos objetos combinatorios que también son independientes de nuestra intuición. Sin embargo, también hay que señalar que la teoría de conjuntos no existe en una burbuja. Los resultados en la teoría de conjuntos sangran a otras áreas de las matemáticas. Consideremos, por casos, la solución de Shelah al problema de Whitehead. Resultados de independencia aparecen a lo largo de matemáticas y es el trabajo de la teoría de conjuntos de explicar por qué y cómo estos resultados de indepedencia ocurren.

   La filosofía de la teoría de conjuntos es un campo vivo y que se necesitaría un estudio mayor para comprender los argumentos de Woodin, Hamkins y otros que han discutido estos temas con mayor detalle.

cristhiangz.wordpress.com