Los conjuntos son los ladrillos
fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por sí solos, no
parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones
es cuando se convierten en los bloques con los que las matemáticas se
construyen. Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de
grafos, álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal,
teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas
partes de las matemáticas tienen en común:
los conjuntos.
Solemos
pensar que las matemáticas han sido desarrolladas a partir de la necesidad
de contar de nuestros ancestros. Esa necesidad de contar
cuántos años tenemos, cuántas ovejas; una luna, dos ojos, seis esposas… muchos
etcéteras. Pero si miramos de cerca, al contar la cantidad de cosas de un
cierto tipo que tenemos, lo primero que requerimos es poder reunirlas en una
sola colección: la colección de las ovejas o la colección de
planetas, y así sucesivamente.
Los
conjuntos vinieron a resolver un problema similar. Son colecciones de objetos
matemáticos que son a la vez objetos matemáticos.
Desde
luego, esto no quiere decir que deberíamos aprende la teoría de conjuntos con
ese único objetivo. Las aplicaciones inmediatas de la teoría de conjuntos no
son dedicadas a las colecciones finitas, o, más bien, colecciones
suficientemente pequeñas como las que vimos al inicio. No necesitamos pensar en
parejas o grupos de 17 elementos como objetos particulares. Independientemente
de lo que queremos hacer con ellas, podemos realizar eso mismo a mano, o casi a
mano.
Los
conjuntos entran en juego cuando se quiere hablar de conjuntos
infinitos. Estos conjuntos infinitos recogen un número infinito de objetos
de un colección; por ejemplo, el conjunto de los números naturales, el conjunto
de conjuntos finitos de conjuntos de números naturales, el conjunto de los números
irracionales, etcétera. Una vez establecido qué objetos matemáticos se puede
englobar en otros objetos matemáticos, podemos comenzar a analizar su
estructura.
Pero
justamente aquí viene el problema. Los conjuntos infinitos desafían nuestra
intuición, la que proviene de los conjuntos finitos. Las paradojas de la
infinitud, como la paradoja de Galileo, la del hotel de Hilbert, entre otros,
son las paradojas que vienen a representar la naturaleza del infinito como una
contradicción a nuestra intuición física.
El
estudio de la teoría de conjunto, incluso intuitivamente, es la columna
vertebral técnica de cómo se manejan los conjunto infinitos. La matemática
moderna tiene que ver mucho con conjuntos infinitos, unos infinitos más grandes
que otros, más grandes o más pequeños, y es una buena idea aprender acerca de
los conjuntos infinitos si se quiere entender mejor a los objetos matemáticos.
Uno
puede estudiar intuitivamente una gran parte de la teoría de conjuntos, sobre
todo si realmente se enseña la teoría axiomática de conjuntos con una
presentación intuitiva. Este tipo de aprendizaje puede, y tal vez debería,
incluir discusiones sobre el axioma de la elección, sobre los ordinales y algo
de cardinales. Por ejemplo, los ordinales y cardinales son dos maneras de
contar que se extienden más allá de nuestro entendimiento intuitivo de que el
conteo se realizar mediante el uso de los números naturales, y que además nos
permiten contar objetos infinitos, lo que no es posible con los números
naturales.
Si
combinados estas ideas con los fundamentos de la lógica de primer orden, el
cálculo de predicados y la lógica elemental de primer orden, se puede ver que
la teoría de conjuntos puede ser utilizada como base para las matemáticas
modernas; lo que a su vez, nos permite ver mejor algunas partes de las
matemáticas.
La
teoría axiomática de conjuntos, por otra parte, es una rama matemática como
cualquier otra. Posee ciertos tipos de problemas típicos, los que una vez
establecidos son trabajados por los teóricos en sus formas típicas y atípicas
para lograr resolverlos o, al menos, entenderlos mejor. Sin embargo, la teoría
axiomática de conjuntos puede manejar mejor los problemas más delicados que
vienen desde el infinito.
¿Qué
quiero decir con esto? Muchos de los conjuntos infinitos en las matemáticas
modernas son numerables o tienen un “tamaño” continuo. Rara vez nos encontramos
con conjuntos más grandes; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos
Lebesgue medibles es muy grande, pero aún así no es usual preocuparse por esos
conjuntos. Pero, ahora que entendemos mejor los conjuntos infinitos, nos
podemos preguntar cosas como: Dado un grupo abeliano con determinadas
propiedades, ¿es necesariamente libre (en términos abelianos)? Por lo general,
podemos probar este tipo de teoremas para objetos numerables, en este caso, los
grupos numerables, pero no más allá de eso.
Cuando
estamos interesados en la topología, que nos permite ampliar nuestra capacidad
de manipulación de los objetos numerables a los entes que se pueden aproximas
“en el buen sentido” con objetos numerables (como espacios separables). Pero
incluso entonces, podemos formularnos preguntas que implican objetos
arbitrarios y que, no necesariamente, tengan estas buenas propiedades.
Resulta
que nuestra falta de intuición para los conjuntos infinitos se refleja en la
falta de una “estructura intuitivamente demostrable” de los conjuntos
infinitos. No podemos siquiera hacer una demostración para determinar cuántas
cardinalidades distintas se encuentran entre la cardinalidad de
y la
de
. Podría no haber
ninguno o podría ser uno o dos o muchos más. Aquí es cuando la teoría
axiomática de conjuntos entra en el ruedo.
La
teoría axiomática de conjuntos se ocupa de los axiomas adicionales que
podríamos requerir en universo teórico para ajustarlo a lo que deseamos tener
en él, y cómo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y ésta es también
una importancia más de la teoría de conjuntos en la investigación matemática.
Se trata de la resolución de la existencia de supuestos o qué tipos de ellos
necesitamos para demostrar o refutar la existencia de ciertos objetos.
Estos
objetos, que resultan aparentemente arbitrarias, puede tener una gran
influencia y fuertes efectos sobre la estructura de los “conjuntos
matemáticamente interesantes”. Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel
es medible Lebesgue. Pero la imagen continua de un conjunto de Borel no es
necesariamente de Borel. ¿Será medible Lebesgue? Resulta que sí, pero si
cerramos los conjuntos de Borel bajo sus complements y funciones continua, ¿los
conjuntos resultantes serán medibles Lebesgue? ¿Podrán satisfacer alguna de las
versiones de la hipótesis del continuo? ¿Tendrán la propiedad de
Baire? Y hay muchas más preguntas, todos ellos muy naturales, que se origina en
todo tipo de objetos teóricos extraños y axiomas que afirman su existencia.
Y
si uno se pregunta: ¿a cuenta de qué debemos aprender la teoría de conjuntos y
cuál es su importancia? Es por esto, que nos permite entender mejor los objetos
infinitos y los supuestos necesarios para controlar mejor su comportamiento.
Epílogo. Veamos una breves
descripciones.
La
teoría de conjuntos intuitiva. La teoría de conjuntos es el lenguaje
común para hablar de las matemáticas, por lo que el aprendizaje de la teoría de
conjuntos significa aprender este idioma común. Otro aspecto, como mencioné, es
el de conteo. La cardinalidad de los conjuntos es una noción muy fundamental
que puede ser entendido bastante bien intuitivamente. La cardinalidad significa
contar, así que aprender la teoría de conjuntos significa aprender a contar
—más allá de los números finitos. Una aplicación clásica es la prueba de la
existencia de los números trascendentes. Por último, la teoría de conjuntos se
ata de forma segura con la lógica, por lo que el aprendizaje de la teoría de
conjuntos significa aprender la lógica, de que la que podemos hacer uso todo el
tiempo.
Teoría
axiomática de conjuntos. La teoría de conjuntos es tan fundamental
que la única manera de estudiarla rigurosamente es axiomáticamente. Por otra
parte, desde el inicio del estudio intuitivo de los conjuntos uno se encuentra
con preguntas muy simples que no pueden ser respondidas. Por ejemplo, ¿cada
subconjunto de los números reales tiene la cardinalidad de los números reales o
la de los números naturales. Otro punto es el axioma de la elección, que por un
lado es equivalente a muchas declaraciones obviamente verdaderas tanto como los
es a declaraciones evidentemente falsas. Esta situación requiere un estudio
axiomático muy cuidadoso y, por supuesto, hay varias maneras de axiomatizar la
teoría de conjunto, lo que da lugar a diferentes teorías de conjuntos —haciendo
el tema aun más divertido.
Coda. En términos generales la
teoría se ocupa del universo matemático. Concretamente, la teoría de conjuntos
tiene la capacidad para describir los resultados de independencia, que es un
aspecto importante de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, consideremos
. ¿Existe un
conjunto X tal que
?
La teoría de conjuntos nos muestra que la solución a esta pregunta está más
allá de nuestra intuición (ZFC).
Es posible construir modelos del universo de las teoría de conjuntos donde esta
afirmación es cierta, así como construcciones de universos donde es falsa. Por
lo tanto, nunca podremos saber la solución a esta pregunta. Lo que hecha luz
sobre nuestra capacidad de percibir el infinito.
También
existen ciertos
objetos
combinatorios que también son independientes de nuestra intuición.
Sin embargo, también hay que señalar que la teoría de conjuntos no existe en
una burbuja. Los resultados en la teoría de conjuntos sangran a otras áreas de
las matemáticas. Consideremos, por casos, la solución de Shelah al
problema de Whitehead.
Resultados de independencia aparecen a lo largo de matemáticas y es el trabajo
de la teoría de conjuntos de explicar por qué y cómo estos resultados de
indepedencia ocurren.
La
filosofía de la teoría de conjuntos es un campo vivo y que se necesitaría un
estudio mayor para comprender los argumentos de
Woodin,
Hamkins y otros que
han discutido estos temas con mayor detalle.
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