Los conjuntos son los ladrillos
fundamentales de las matem谩ticas. Es verdad que los conjuntos, por s铆 solos, no
parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en distintas situaciones
es cuando se convierten en los bloques con los que las matem谩ticas se
construyen. Las matem谩ticas se pueden complicar mucho r谩pidamente. Teor铆a de
grafos, 谩lgebra astracta, an谩lises real, an谩lisis complejo, 谩lgebra lineal,
teor铆a de n煤meros, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que todas estas
partes de las matem谩ticas tienen en com煤n:
los conjuntos.
Solemos
pensar que las matem谩ticas han sido desarrolladas a partir de la necesidad
de contar de nuestros ancestros. Esa necesidad de contar
cu谩ntos a帽os tenemos, cu谩ntas ovejas; una luna, dos ojos, seis esposas… muchos
etc茅teras. Pero si miramos de cerca, al contar la cantidad de cosas de un
cierto tipo que tenemos, lo primero que requerimos es poder reunirlas en una
sola colecci贸n: la colecci贸n de las ovejas o la colecci贸n de
planetas, y as铆 sucesivamente.
Los
conjuntos vinieron a resolver un problema similar. Son colecciones de objetos
matem谩ticos que son a la vez objetos matem谩ticos.
Desde
luego, esto no quiere decir que deber铆amos aprende la teor铆a de conjuntos con
ese 煤nico objetivo. Las aplicaciones inmediatas de la teor铆a de conjuntos no
son dedicadas a las colecciones finitas, o, m谩s bien, colecciones
suficientemente peque帽as como las que vimos al inicio. No necesitamos pensar en
parejas o grupos de 17 elementos como objetos particulares. Independientemente
de lo que queremos hacer con ellas, podemos realizar eso mismo a mano, o casi a
mano.
Los
conjuntos entran en juego cuando se quiere hablar de conjuntos
infinitos. Estos conjuntos infinitos recogen un n煤mero infinito de objetos
de un colecci贸n; por ejemplo, el conjunto de los n煤meros naturales, el conjunto
de conjuntos finitos de conjuntos de n煤meros naturales, el conjunto de los n煤meros
irracionales, etc茅tera. Una vez establecido qu茅 objetos matem谩ticos se puede
englobar en otros objetos matem谩ticos, podemos comenzar a analizar su
estructura.
Pero
justamente aqu铆 viene el problema. Los conjuntos infinitos desaf铆an nuestra
intuici贸n, la que proviene de los conjuntos finitos. Las paradojas de la
infinitud, como la paradoja de Galileo, la del hotel de Hilbert, entre otros,
son las paradojas que vienen a representar la naturaleza del infinito como una
contradicci贸n a nuestra intuici贸n f铆sica.
El
estudio de la teor铆a de conjunto, incluso intuitivamente, es la columna
vertebral t茅cnica de c贸mo se manejan los conjunto infinitos. La matem谩tica
moderna tiene que ver mucho con conjuntos infinitos, unos infinitos m谩s grandes
que otros, m谩s grandes o m谩s peque帽os, y es una buena idea aprender acerca de
los conjuntos infinitos si se quiere entender mejor a los objetos matem谩ticos.
Uno
puede estudiar intuitivamente una gran parte de la teor铆a de conjuntos, sobre
todo si realmente se ense帽a la teor铆a axiom谩tica de conjuntos con una
presentaci贸n intuitiva. Este tipo de aprendizaje puede, y tal vez deber铆a,
incluir discusiones sobre el axioma de la elecci贸n, sobre los ordinales y algo
de cardinales. Por ejemplo, los ordinales y cardinales son dos maneras de
contar que se extienden m谩s all谩 de nuestro entendimiento intuitivo de que el
conteo se realizar mediante el uso de los n煤meros naturales, y que adem谩s nos
permiten contar objetos infinitos, lo que no es posible con los n煤meros
naturales.
Si
combinados estas ideas con los fundamentos de la l贸gica de primer orden, el
c谩lculo de predicados y la l贸gica elemental de primer orden, se puede ver que
la teor铆a de conjuntos puede ser utilizada como base para las matem谩ticas
modernas; lo que a su vez, nos permite ver mejor algunas partes de las
matem谩ticas.
La
teor铆a axiom谩tica de conjuntos, por otra parte, es una rama matem谩tica como
cualquier otra. Posee ciertos tipos de problemas t铆picos, los que una vez
establecidos son trabajados por los te贸ricos en sus formas t铆picas y at铆picas
para lograr resolverlos o, al menos, entenderlos mejor. Sin embargo, la teor铆a
axiom谩tica de conjuntos puede manejar mejor los problemas m谩s delicados que
vienen desde el infinito.
¿Qu茅
quiero decir con esto? Muchos de los conjuntos infinitos en las matem谩ticas
modernas son numerables o tienen un “tama帽o” continuo. Rara vez nos encontramos
con conjuntos m谩s grandes; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos
Lebesgue medibles es muy grande, pero a煤n as铆 no es usual preocuparse por esos
conjuntos. Pero, ahora que entendemos mejor los conjuntos infinitos, nos
podemos preguntar cosas como: Dado un grupo abeliano con determinadas
propiedades, ¿es necesariamente libre (en t茅rminos abelianos)? Por lo general,
podemos probar este tipo de teoremas para objetos numerables, en este caso, los
grupos numerables, pero no m谩s all谩 de eso.
Cuando
estamos interesados en la topolog铆a, que nos permite ampliar nuestra capacidad
de manipulaci贸n de los objetos numerables a los entes que se pueden aproximas
“en el buen sentido” con objetos numerables (como espacios separables). Pero
incluso entonces, podemos formularnos preguntas que implican objetos
arbitrarios y que, no necesariamente, tengan estas buenas propiedades.
Resulta
que nuestra falta de intuici贸n para los conjuntos infinitos se refleja en la
falta de una “estructura intuitivamente demostrable” de los conjuntos
infinitos. No podemos siquiera hacer una demostraci贸n para determinar cu谩ntas
cardinalidades distintas se encuentran entre la cardinalidad de
y la
de
. Podr铆a no haber
ninguno o podr铆a ser uno o dos o muchos m谩s. Aqu铆 es cuando la teor铆a
axiom谩tica de conjuntos entra en el ruedo.
La
teor铆a axiom谩tica de conjuntos se ocupa de los axiomas adicionales que
podr铆amos requerir en universo te贸rico para ajustarlo a lo que deseamos tener
en 茅l, y c贸mo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y 茅sta es tambi茅n
una importancia m谩s de la teor铆a de conjuntos en la investigaci贸n matem谩tica.
Se trata de la resoluci贸n de la existencia de supuestos o qu茅 tipos de ellos
necesitamos para demostrar o refutar la existencia de ciertos objetos.
Estos
objetos, que resultan aparentemente arbitrarias, puede tener una gran
influencia y fuertes efectos sobre la estructura de los “conjuntos
matem谩ticamente interesantes”. Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel
es medible Lebesgue. Pero la imagen continua de un conjunto de Borel no es
necesariamente de Borel. ¿Ser谩 medible Lebesgue? Resulta que s铆, pero si
cerramos los conjuntos de Borel bajo sus complements y funciones continua, ¿los
conjuntos resultantes ser谩n medibles Lebesgue? ¿Podr谩n satisfacer alguna de las
versiones de la hip贸tesis del continuo? ¿Tendr谩n la propiedad de
Baire? Y hay muchas m谩s preguntas, todos ellos muy naturales, que se origina en
todo tipo de objetos te贸ricos extra帽os y axiomas que afirman su existencia.
Y
si uno se pregunta: ¿a cuenta de qu茅 debemos aprender la teor铆a de conjuntos y
cu谩l es su importancia? Es por esto, que nos permite entender mejor los objetos
infinitos y los supuestos necesarios para controlar mejor su comportamiento.
Ep铆logo. Veamos una breves
descripciones.
La
teor铆a de conjuntos intuitiva. La teor铆a de conjuntos es el lenguaje
com煤n para hablar de las matem谩ticas, por lo que el aprendizaje de la teor铆a de
conjuntos significa aprender este idioma com煤n. Otro aspecto, como mencion茅, es
el de conteo. La cardinalidad de los conjuntos es una noci贸n muy fundamental
que puede ser entendido bastante bien intuitivamente. La cardinalidad significa
contar, as铆 que aprender la teor铆a de conjuntos significa aprender a contar
—m谩s all谩 de los n煤meros finitos. Una aplicaci贸n cl谩sica es la prueba de la
existencia de los n煤meros trascendentes. Por 煤ltimo, la teor铆a de conjuntos se
ata de forma segura con la l贸gica, por lo que el aprendizaje de la teor铆a de
conjuntos significa aprender la l贸gica, de que la que podemos hacer uso todo el
tiempo.
Teor铆a
axiom谩tica de conjuntos. La teor铆a de conjuntos es tan fundamental
que la 煤nica manera de estudiarla rigurosamente es axiom谩ticamente. Por otra
parte, desde el inicio del estudio intuitivo de los conjuntos uno se encuentra
con preguntas muy simples que no pueden ser respondidas. Por ejemplo, ¿cada
subconjunto de los n煤meros reales tiene la cardinalidad de los n煤meros reales o
la de los n煤meros naturales. Otro punto es el axioma de la elecci贸n, que por un
lado es equivalente a muchas declaraciones obviamente verdaderas tanto como los
es a declaraciones evidentemente falsas. Esta situaci贸n requiere un estudio
axiom谩tico muy cuidadoso y, por supuesto, hay varias maneras de axiomatizar la
teor铆a de conjunto, lo que da lugar a diferentes teor铆as de conjuntos —haciendo
el tema aun m谩s divertido.
Coda. En t茅rminos generales la
teor铆a se ocupa del universo matem谩tico. Concretamente, la teor铆a de conjuntos
tiene la capacidad para describir los resultados de independencia, que es un
aspecto importante de la teor铆a de conjuntos. Por ejemplo, consideremos
. ¿Existe un
conjunto X tal que
?
La teor铆a de conjuntos nos muestra que la soluci贸n a esta pregunta est谩 m谩s
all谩 de nuestra intuici贸n (ZFC).
Es posible construir modelos del universo de las teor铆a de conjuntos donde esta
afirmaci贸n es cierta, as铆 como construcciones de universos donde es falsa. Por
lo tanto, nunca podremos saber la soluci贸n a esta pregunta. Lo que hecha luz
sobre nuestra capacidad de percibir el infinito.
Tambi茅n
existen ciertos
objetos
combinatorios que tambi茅n son independientes de nuestra intuici贸n.
Sin embargo, tambi茅n hay que se帽alar que la teor铆a de conjuntos no existe en
una burbuja. Los resultados en la teor铆a de conjuntos sangran a otras 谩reas de
las matem谩ticas. Consideremos, por casos, la soluci贸n de Shelah al
problema de Whitehead.
Resultados de independencia aparecen a lo largo de matem谩ticas y es el trabajo
de la teor铆a de conjuntos de explicar por qu茅 y c贸mo estos resultados de
indepedencia ocurren.
La
filosof铆a de la teor铆a de conjuntos es un campo vivo y que se necesitar铆a un
estudio mayor para comprender los argumentos de
Woodin,
Hamkins y otros que
han discutido estos temas con mayor detalle.
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